<< Вернуться у выбору материала

Системы счисления

Введите ваш запрос для начала поиска.

http://magnet-store.org/ остановить счетчик воды иголкой.

Системы счисления – это способ представления чисел и соответствующих ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используется в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записях чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используется латинские буквы:

I V X L C D M
1 5 1
0
5
0
1
0
0
5
0
0
1
0
0
0

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяется в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Позиционный характер этой системы легко понят на примере любого многозначительного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая- три десятка, третья – три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используется n первых арабских цифр, а при n ? 10 к десяти арабским цифрам добавляются буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание Название Алфавит
N=2 Двоичная 01
N=3 Троичная 012
N=8 Восьмеричная 01234567
N=16 Шестнадцатеричная 0123456789 ABCDEF

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

1011012, 36718, 3B8F16.

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. Q единиц какого либо разряда образует единицу следующего разряда. Для записи числа q-ичная системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0,1…., q-1. Запись числа q в q-ичная системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формулой записи числа называется запись в виде

Aq=±(an-1qn-1+ an-2qn-2+…+ a0q0+ a-1q-1+ a-2q-2+…+a-m q-m).

Здесь Аq – само число q,- основание системы счисления ai –цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m число разрядов дробной части числа.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.

Перевод целых чисел.

  1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
  2. Последовательно делить данное число и получаемые неполные частные на основание новой системы до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя.
  3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
  4. Составить число в новой системе счисления, начиная с последнего частного

Перевод дробных чисел.

  • Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
  • Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор ,пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;
  • Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
  • Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
  • Переводсмешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

    Рейтинг@Mail.ru